9 A Hybrid Framework for Reinsurance Optimization: Integrating Generative Models and Reinforcement Learning
再保险优化的混合框架：集成生成模型和强化学习
9.1 Abstract
再保险优化对于保险公司管理风险敞口、确保财务稳定和维持偿付能力至关重要。传统方法常常在应对动态索赔分布、高维约束和不断变化的市场条件时遇到困难。本文介绍了一种新颖的混合框架，将生成模型，特别是变分自编码器（VAE），与强化学习（RL）结合，使用近端策略优化（PPO）算法。该框架通过结合复杂索赔分布的生成建模与强化学习的自适应决策能力，实现了再保险策略的动态和可扩展优化。
VAE组件生成合成索赔数据，包括稀有和灾难性事件，解决了数据稀缺和波动性的问题，而PPO算法则动态调整再保险参数，以最大化盈余并最小化破产概率。通过广泛的实验验证该框架的性能，包括样本外测试、压力测试情景（例如疫情影响、灾难事件）和在不同投资组合规模下的可扩展性分析。结果表明，与传统优化技术相比，该框架具有更强的适应性、可扩展性和鲁棒性，能够实现更高的最终盈余和计算效率。
本文的主要贡献包括：开发了一种针对高维优化的混合方法，动态再保险参数化，以及在随机索赔分布下的验证。该框架为现代再保险挑战提供了变革性的解决方案，并具有在多险种保险操作、灾难建模和风险共担策略设计等领域的潜在应用。
9.2 Introduction
保险和再保险行业在管理金融风险和确保经济稳定方面发挥着关键作用。再保险是将风险从保险公司转移到再保险公司的过程，是旨在维持偿付能力和优化财务表现的风险管理战略的基石。然而，由于索赔的随机性、多维约束以及风险保留、盈利性和合规性之间的动态相互作用，设计有效的再保险策略依然是一个高度复杂的挑战。
传统的再保险优化方法，如经典的Cramér-Lundberg模型，提供了盈余动态和破产概率的基础性见解。这些模型尽管在数学上严格，但它们依赖于关于保费率和索赔分布的静态假设，这限制了它们在现代再保险实践中的适用性。这些模型的扩展，包括比例再保险和分层再保险结构，解决了其中的一些局限性，但往往计算量大，且不足以应对高维的实际场景。
近年来，机器学习和人工智能（AI）的进展展示了其在解决保险领域挑战方面的巨大潜力。生成性AI模型，如变分自编码器（VAE），已在捕捉复杂数据分布和生成反映稀有和灾难性事件的合成数据方面表现出色，这些事件在历史数据中往往被低估。与此同时，强化学习（RL）技术，特别是近端策略优化（PPO）算法，已成为应对不确定环境中的序列决策和动态优化的强大工具。
本文介绍了一种新颖的混合框架，将生成性AI与强化学习结合，动态和自适应地优化再保险策略。通过利用VAE建模索赔分布并生成合成场景，该框架克服了数据稀缺和波动性的问题。PPO算法则动态调整再保险参数——如保留率和分层边界——以应对不断变化的索赔分布、市场条件和监管约束。这一协同作用使得该框架能够实时评估和优化复杂的再保险策略，解决高维不确定性并确保财务稳定。
该混合框架通过全面的仿真验证，包括压力测试场景（如高频索赔、灾难尾事件和疫情影响），证明了其鲁棒性、可扩展性和适应性，远超传统优化方法，如动态规划、蒙特卡洛模拟和多目标优化。此外，敏感性分析和可扩展性测试也突出了该框架在不同索赔环境和不同投资组合规模下的韧性。
本文的主要贡献包括：
再保险优化的混合框架：结合生成性AI模型（VAE）和强化学习（PPO），解决再保险中的多维随机优化挑战。
再保险策略的动态参数化：结合自适应的保留率和分层边界，在不断变化的市场条件下确保风险分担机制的灵活性。
全面的验证与基准测试：通过与已建立的优化技术的对比，证明了框架在可扩展性、计算效率和鲁棒性方面的优越性。
本文其余部分的结构如下：第2节介绍盈余过程、再保险结构和优化目标的数学基础；第3节介绍混合计算框架，详细描述了生成性AI和强化学习的整合；第4节描述实验设置、结果和与替代方法的对比；第5节讨论所提出框架的意义和局限性，第6节总结了主要发现和未来的研究方向。
通过弥合传统精算方法和前沿AI技术之间的鸿沟，本研究提供了一种变革性的再保险优化框架，解决了金融风险管理中的紧迫挑战，并为保险行业未来的创新奠定了基础。
9.3 Model Description
本节介绍了一种稳健且是适应性强的框架，用于建模保险公司在有限计划期\(T\)内的运营。该模型通过引入离散时间建模、广义盈余过程和动态再保险机制，解决了风险管理、动态索赔过程和财务稳定性等关键挑战。该方法为在不确定性下优化决策提供了全面的基础。
9.3.1 离散时间框架
计划期\(T\)被划分为\(n\)个离散时间间隔，记为\(0=t_1<t_2<...<t_n=T.\)每个时间间隔表示保险公司管理风险组合、生成保费收入并发生索赔的时间步。该时间结构反映了现实世界中的保险实践，其中财务表现和风险敞口会定期进行审查和调整。
离散时间的公式化使得对风险和财务指标进行精细评估成为可能，允许将随机因素融入操作决策中，这种粒度对于分析索赔、保费和再保险之间的动态相互作用至关重要。
9.3.2 盈余过程建模
财务盈余定义为保险公司资产与负债之间的差额，并随着时间推移在索赔发生和保费收取的基础上演变。盈余过程使用改进的Cramer-Lundberg框架进行建模，这是精算科学中的基础方法。
这\(N_i\)为第\(i\)个时间间隔\([t_{i-1},t_i)\)内的索赔数量，模型具有参数为\(\lambda\Delta t_i\)的Poisson随机变量，其中\(\Delta t_i=t_i-t_{i-1}.\)每个索赔\(X_{ij}\)假定为独立同分布的，盈余过程定义为
\[ S_{i+1}=S_i+c\Delta t_i-\sum_{j=1}^{N_i}X_{ij}, \tag{9.1} \] 其中
\(S_t\):时间\(t\)时的盈余，
\(c\):单位时间的保费率，计算公式为：
\[ c=(1+\theta)\lambda \mathbb{E}[X], \tag{9.2} \] 其中\(\theta>0\)为安全载荷系数，确保了盈利性和偿付能力。
该公式提供了盈余演变的动态表示，允许对财务稳定性和风险缓解策略进行严格分析。
9.3.3 引入再保险机制
再保险是风险分担的重要工具，使得保险公司能够将其部分责任转移给再保险公司。本框架结合了多种再保险安排，以适应不同的风险配置和操作需求。
比例再保险
在比例再保险中，保险公司保留每个索赔的固定比例\(\alpha,\)剩余部分由再保险公司承担，此时盈余过程修改为
\[ S_{i+1}=S_i+c\Delta t_i-\sum_{j=1}^{N_i}\alpha X_{ij}, \tag{9.3} \] 其中\(\alpha\in[0,1]\)称为表示保留率，这种简单的方法在风险保留和成本效率之间取得平衡。
分层再保险
分层再保险将索赔分为预定义的层级，每个层级具有不同的保留率。对于索赔\(X_{ij},\)其保留的损失表示为：
\[ L_{ij}=\sum_{k=1}^K\alpha_k\min(\max(X_{ij}-a_k,0),b_k-a_k), \tag{9.4} \] 其中：
\([a_k,b_k]\):第\(k\)层的边界，
\(\alpha_k\):第\(k\)层的保留率，
\(K:\)层级总数
这种结构能够实现战略性的风险分担，在优化成本效益的同时缓解高严重度的损失。
动态再保险调整
为了应对市场条件和监管要求i的变化，本框架引入了动态调整保留率和层级边界：
\[\begin{align} &\alpha_k(t_i)=\alpha_k^{\text{base}}+\delta_k(t_i), \tag{9.5}\\ &a_k(t_i)=a_k^{\text{base}}+\Delta a_k(t_i),b_k(t_i)=b_k^{\text{base}}+\Delta b_k(t_i), \tag{9.6} \end{align}\]
其中\(\delta_k(t_i),\Delta a_k(t_i),\Delta b_k(t_i)\)是由强化学习代理提供的时间依赖性调整。这些动态能力增强了框架对随机和时间不确定性的适应性。
9.3.4 优化目标
主要目标是最大化终期盈余\(S_n,\)考虑保费、索赔和再保险成本：
\[ \max_{\alpha_k,a_k,b_k}\mathbb{E}[U(S_n)]. \tag{9.7} \] 该优化受到以下约束的限制：
破产概率约束：财务破产的概率不得超过预定的阈值：
\[ \mathbb{P}(S_i<0 \text{ for any }i=0,1,...,n)\leq \psi_{target}. \tag{9.8} \]预算约束：总再保险保费成本必须保持在指定的限额内：
\[ P=\sum_{k=1}^K(1+\theta_k)\beta_k\mathbb{E}[r_k(X)]\leq P_{max}. \tag{9.9} \] 其中\(\beta_k=1-\alpha_k,r_k(X)\)表示由第\(k\)层覆盖的索赔。
层级结构约束：层级边界必须保持不重叠：
\[ a_{k+1}\geq b_k,\quad \forall k. \tag{9.10} \]保留率边界：保留率必须满足\(0\leq \alpha_k\leq 1,\forall k\),这些约束确保了财务稳定性、合规性和资源分配的效率。
9.4 A Hybrid Framework for Generative Models and Reinforcement Learning in Reinsurance Optimization
（生成模型与强化学习在再保险优化中的混合框架）
再保险组合管理需要在不确定的条件下平衡财务稳定性、合规性和风险缓解。本节介绍了一个混合框架，将生成式 AI 模型，特别是变分自编码器（VAE），与强化学习（RL）结合，使用近端策略优化（PPO）进行优化。该框架通过结合合成数据生成和序列决策，解决了数据稀缺、随机索赔动态和市场条件变化等挑战。这种混合方法能够实现适应性强且动态的再保险优化，同时确保在管理多样化风险配置时具备可扩展性和稳健性。
9.4.1 使用VAE生成索赔模型
变分自编码器（VAE）作为所提框架的生成核心，旨在建模历史保险索赔的统计特性。VAE 通过生成合成索赔场景来解决数据稀缺问题，这些场景能够捕捉到观察到的数据模式和潜在的极端事件。
9.4.1.1 机器学习架构和组成部分
VAE架构包含三个核心组件：
编码器：将高维历史索赔数据映射到低维潜在空间。这个神经网络提取了显著特征同时减少了噪声，提供了一个以均值\(\mu\)和对数方差\(\log(\sigma^2)\)为参数的概率表示。这种潜在表示保证了在建模多样数据分布时的灵活性。
潜在空间：潜在空间将每个索赔编码为一个概率分布。通过从这个空间中采样，VAE 生成的合成索赔能够超越观察数据集，同时遵循其统计特性。这种能力对于压力测试和探索稀有、高严重度的损失场景至关重要。
解码器：解码器从潜在空间中重建索赔，确保生成的数据与历史索赔的统计特征一致。这个过程保持了现实性，同时引入了受控的变异性，从而能够在多种场景下进行全面的政策测试。
9.4.1.2 训练目标和损失函数
VAE的训练过程平衡了两个关键目标：
重建保真度：重建损失确保了解码器生成的索赔与输入的历史索赔尽可能接近。这种保真度通过均方误差MSE来量化：
\[ \mathcal{L}_{reconstruction}=\mathbb{E}\left[ \Vert X-\hat{X}\Vert^2 \right]. \]潜在空间正则化：Kullback-Leibler（KL）散度项正则化潜在空间，促进生成的索赔在平滑性和多样性方面的提升：
\[ \mathcal{L}_{KL}=-\frac{1}{2}\sum(1+\log \sigma^2-\mu^2-\sigma^2). \]
总体损失函数为
\[ \mathcal{L}_{VAE}= \mathcal{L}_{reconstruction}+\beta\cdot \mathcal{L}_{KL}. \] 其中\(\beta\)调节正则化的相对权重。
9.4.2 强化学习用于序列决策
强化学习（RL）是框架的决策核心，通过序列学习来优化再保险策略。该 RL 环境基于 OpenAI Gym 框架，模拟现实的保险操作，包括随机索赔动态、盈余演变和再保险合同调整。
9.4.2.1 状态观察和行动空间
在每个时间步\(t,\)RL智能体观察一个状态向量\(s_t,\)该向量捕捉了关键的操作指标：
\[ s_t=(S_t,\lambda,\{\alpha_k\}_{k=1}^K,\{a_k,b_k\}_{k=1}^K), \] 其中\(S_t\)是财富盈余，\(\lambda\)表示索赔强度（频率），\(\{\alpha_k\}\)是保留率，\(\{a_k,b_k\}\)定义了再保险层的边界。
智能体通过选择行动\(a_t\)来调整这些参数，以优化长期的风险分担和财务稳定性。
9.5 Comprehensive Evaluation of Optimization Frameworks
本节全面评估了所提出的混合再保险优化框架，重点讨论了仿真设置、训练指标和与现有方法的基准表现比较。
9.5.1 仿真配置和初始参数
仿真环境设计旨在模拟现实的再保险情景。下表总结了初始参数，保险人的初始盈余设置为20000美元，索赔使用具有平均频率\(\lambda=10\)次/年的泊松过程进行建模，索赔大小从对数正态分布中进行抽样，参数为\(\mu=3.5,\sigma=1.\)这些合成的索赔数据用于训练VAE，从而生成真实的场景供强化学习使用。表9.1展示了仿真初始设置及参数
| 参数 | 值 | 描述 |
|---|---|---|
| 时间跨度（\(T\)） | 10年 | 总仿真持续时间 |
| 时间步长（\(n\)） | 200 | 离散时间区间数 |
| 初始盈余（\(S_0\)） | 20,000美元 | 初始财务盈余 |
| 索赔频率（\(\lambda\)） | 10次/年 | 采用泊松过程建模 |
| 索赔大小分布 | 对数正态（\(\mu\) = 3.5, \(\sigma\) = 1.0） | 用于RL训练的合成索赔数据 |
| 保留率范围 | [0.2, 0.5] | 再保险保留率的约束 |
| 再保险层数（\(K\)） | 5 | 风险分担的层数 |
| 预算限制（Budget max） | 150,000美元 | 最大再保险预算 |
9.5.2 训练指标和盈余轨迹分析
训练指标和盈余轨迹突出展示了PPO智能体优化再保险策略的能力，表9.2列出了关键指标，图9.1展示了经过6144个时间步的盈余轨迹。
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 总时间步数 | 6144 |
| 平均每回合奖励 | -1070 |
| 策略梯度损失 | -0.00615 |
| 熵损失 | -21.2 |
图9.1显示了PPO智能体的学习过程，初期的波动反映了探索阶段，而随着时间的推移，盈余逐渐稳定，表明智能体在收敛到有效策略。
图9.1: Surplus Trajectory Over Time. Early fluctuations diminish as the PPO agent stabilizes surplus above the ruin threshold (red dashed line).
平均每回合奖励: -1,070的负值表明盈余波动带来了惩罚，并强调框架对财务稳定性的重视。
策略梯度损失: -0.00615的低值显示出策略网络更新稳定且一致，表明学习过程有效。
熵损失: -21.2的值表明决策过程中的随机性减少，智能体正从探索阶段转向利用阶段。
9.5.3 基准表现和比较分析
框架的表现与现有方法进行了基准对比，包括动态规划、蒙特卡洛模拟、混合深度蒙特卡洛、多目标优化和混合强化学习与生成模型。表9.3总结了结果。
Code
# | echo = False
# 创建表格的数据
benchmark_data <- data.frame(
Method = c("Dynamic Programming", "Monte Carlo Simulation", "Hybrid Deep Monte Carlo",
"Multi-Objective Optimization", "Hybrid RL with Generative Models"),
`Final Surplus ($)` = c(12487.71, 12803.21, 12973.67, 12467.12, 14280.64),
`Ruin Probability` = c(0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0),
`Time (s)` = c(7.96, 414.27, 411.29, 8.52, 7.92),
`Budget Utilization ($)` = c(NA, NA, NA, NA, 259.99),
`Efficiency` = c(1568.63, 30.91, 31.54, 1462.96, 1802.60)
)
# 使用 knitr::kable 创建表格
knitr::kable(
benchmark_data,
booktabs = TRUE,
caption = "各再保险优化方法基准表现"
)| Method | Final.Surplus…. | Ruin.Probability | Time..s. | Budget.Utilization…. | Efficiency |
|---|---|---|---|---|---|
| Dynamic Programming | 12487.71 | 0 | 7.96 | NA | 1568.63 |
| Monte Carlo Simulation | 12803.21 | 0 | 414.27 | NA | 30.91 |
| Hybrid Deep Monte Carlo | 12973.67 | 0 | 411.29 | NA | 31.54 |
| Multi-Objective Optimization | 12467.12 | 0 | 8.52 | NA | 1462.96 |
| Hybrid RL with Generative Models | 14280.64 | 0 | 7.92 | 259.99 | 1802.60 |
9.6 Applicability to Reinsurance Optimization
再保险优化是一个复杂且动态的领域，需要强大、可扩展且适应性强的模型来有效管理财务风险。本研究中提出的混合框架集成了生成建模与强化学习，旨在解决这些挑战。本节评估了该框架在再保险中的适用性，通过分析其在不同索赔分布下的表现，测试其通过样本外和敏感性分析的适应性，并通过压力测试和灾难性事件仿真考察其在极端条件下的稳健性。此外，还评估了框架在不同投资组合规模下的可扩展性，以了解其在大规模再保险运营中的局限性和潜力。
分析结果显示，框架能够在典型的操作情境下保持盈余稳定并避免破产，同时也识别出改进的空间，特别是在尾部事件建模和大规模投资组合管理方面。该评估为框架在现实世界中的适用性提供了有价值的见解，并为未来的改进方向提供了思路。
9.6.1 生成模型在不同分布下的表现分析
生成的索赔模型在对数正态、帕累托和组合对数正态-帕累托分布下的表现进行了评估，重点考察其再现关键统计特性。通过Kolmogorov-Smirnov（KS）检验和视觉比较，突出了模型在捕捉中心趋势方面的优势，以及在建模尾部行为时的局限性。准确的尾部建模对于再保险应用至关重要，因为极端索赔对风险评估的影响不成比例。
9.6.1.1 整体模型表现
KS检验结果表明，训练数据与生成数据之间存在显著差异，KS统计量为0.6264，p值为0.0000。最大差异位置（D）为14.7174，表明模型在捕捉极端索赔时存在困难，极端事件对再保险的风险评估至关重要。图4显示了这些差异，尾部区域的低估反映了模型在捕捉高严重性索赔时的不足。
9.6.1.2 对数正态分布
对于对数正态分布，KS统计量为0.5896，p值为0.0000，表明训练数据与生成数据之间存在显著差异，尤其是在尾部区域。最大差异位置（D）为12.0666，突出表明模型在再现分布的长尾特性时的挑战。图5显示，虽然模型能够准确再现中心趋势，但大额索赔却未能得到充分体现。针对尾部事件的损失函数和数据增强策略可能会提升模型性能。
9.6.2 样本外表现和敏感性分析
通过样本外测试、敏感性分析和结果可视化，评估了生成索赔模型的表现。这一全面评估突出了模型的鲁棒性、对未见数据的泛化能力以及在现实应用中的局限性。样本外测试显示，平均盈余为16,686.73美元，破产概率为0.00%，表明模型能够在仿真保险环境中有效管理盈余。
图8展示了盈余动态，模型能够保持稳定，不会突破破产阈值-100。这表明模型在平衡保费收取和损失管理方面的成功。
图9展示了索赔大小分布的比较，表明模型能够再现训练数据的中心趋势。然而，尾部区域的差异表明，在极端事件的建模上仍需要进一步改进。尾部建模对再保险应用至关重要，因为罕见、高严重的索赔会显著影响风险管理和偿付能力评估。
表4总结了敏感性分析结果，显示了模型在不同参数设置下的稳健性，并保持了较低的破产概率。
9.7 结论与未来工作
所提出的混合框架结合了生成模型和强化学习，代表了再保险优化领域的重大进展。通过将变分自编码器（VAE用于建模索赔分布，并通过近端策略优化（PPO动态调整再保险策略，框架有效应对了高维和随机索赔环境中的关键挑战。实验结果展示了框架在典型操作情境下的稳健性、对变化索赔分布的适应能力和对不同投资组合规模的可扩展性。
框架在管理财务稳定性和最小化破产概率方面表现突出，通过样本外测试和敏感性分析验证了其稳健性。它能够在适度的压力条件下稳定盈余，并能适应不同的索赔分布，强调了其在现实世界应用中的潜力。压力测试场景，包括高频索赔、类疫情条件和灾难性事件，突出了框架在处理典型索赔和短期财务冲击方面的优势。然而，在持续的灾难性事件下，框架的局限性也显现出来，强调了需要量身定制的再保险结构和动态保费调整。
可扩展性分析进一步揭示了框架在管理更大规模投资组合时的挑战。尽管模型在小型投资组合中表现强劲，但随着投资组合规模的扩大，由于风险暴露的加剧，其维持盈余的能力有所下降。这些发现强调了适应性再保险策略和风险分担机制的重要性，以确保可扩展性和财务稳定性。
尽管结果令人鼓舞，框架在极端尾部事件建模上仍存在局限性，这在再保险应用中至关重要。生成模型输出中的尾部差异表明，需要进行改进。潜在的提升包括开发优先考虑尾部准确性的定制损失函数、过采样技术和增强的潜在空间表示。此外，集成动态参数调节和多智能体强化学习等先进优化技术，可能会进一步提高框架的适应性和稳健性。
未来的研究将重点解决这些局限性，设计更复杂的尾部建模方法，并将框架扩展到多条保险业务。整合市场波动、监管动态和宏观经济条件等外部因素，将进一步增强框架的现实适用性。此外，在大规模、现实世界的保险数据集上部署并验证该框架的实时设置，将对评估其可扩展性和实际相关性至关重要。