随机过程习题

第一章 初等概率论

1. 假设是独立同分布的指数随机变量，参数是参数为的几何随机变量，并且与相互独立。定义随机变量和

(1) 求的密度函数;

(2) 求.

服从指数分布，其特征函数均为.

是整值随机变量，满足,且与与相互独立。若先固定,则的特征函数记作

$$\begin{align} f_{\eta}(t)=Ee^{it\eta}&=Ee^{it(X_1+X_2+...+X_N)}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}P(N=k)E[e^{it(X_1+...+X_N)}|N=k]\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}p_kE[e^{it(X_1+...+X_k)}]\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}p_k\varphi(t)^k \end{align}$$

则

$$\begin{align} f_{S_N}(t)&=\sum_{k=1}^{\infty}\beta(1-\beta)^{k-1}(1-\frac{it}{\lambda})^{-k}\\ &=\frac{\beta}{1-\beta}\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1-\beta}{1-\frac{it}{\lambda}})^k\\ &=\frac{\beta}{1-\beta}\frac{1-\beta}{\beta-\frac{it}{\lambda}}\\ &=(1-\frac{it}{\beta \lambda})^{-1} \end{align}$$

由连续性定理可知，,问题便迎刃而解了。

1. 相互独立的随机变量均服从，证明：的分布不依赖于,并求出其密度函数。

设,其余情形是0.

$$\begin{align} P(Z\leq z)&=P(X_1-X_2\leq z)\\ &=\iint_{x_1-x_2<z}f_1(x_1)f_2(x_2)dx_1dx_2\\ &=\iint_{x_1-x_2<z}dx_1dx_2\\ &=\left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}(1+z)^2,z\in [-1,0]\\ &\frac{1}{2}(1-z)^2,z\in [0,1] \end{aligned} \right. \end{align}$$

不依赖于，密度函数求导即可.

第四章 Markov链

1. 假设是Markov链，状态空间,转移概率矩阵为 $$P=\begin{pmatrix} 0.3 & 0.2&0.5\\ 0.5&0.1&0.4\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$ 假设该Markov链从状态1出发，最终到达状态3.求该Markov链从最终是从状态2转移到状态3的概率（提示: 令,并考虑 $$q_i = P(X_{T-1}=2|X_0=i),i=1,2.$$ （表示最终转移概率，运用一步分析法，建立递推方程组).

$$\begin{align} q_1 &= 0.3q_1+0.2q_2+0.4\cdot0\\ q_2&=0.5q_1+0.1q_2+0.4\cdot1 \end{align}$$