微分几何——测地线与测地曲率

要点、公式

构造、定义以及计算

设正则参数曲面的方程是是曲面上一条弧长参数曲线.沿曲线取曲面的正交标架兼顾曲面与曲线，定义为

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$$\mathbf{e_1}=\frac{d\mathbf{r}(s)}{ds}=\mathbf{t}(s),\quad \mathbf{e_3}=\mathbf{n}(s),\quad \mathbf{e_2}=\mathbf{e_3\times e_1}=\mathbf{n}(s)\times\mathbf{t}(s)$$

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由此，可以写出标架沿曲线的运动公式

$$\begin{align*} \frac{d\mathbf{r}(s)}{ds}&= \quad\quad\mathbf{e_1},&&\\ \frac{d\mathbf{e_1}}{ds}&= &\kappa_g\mathbf{e_2} &+\kappa_n\mathbf{e_3},\\ \frac{d\mathbf{e_2}}{ds}&=-\kappa_g\mathbf{e_1}& &+\tau_g\mathbf{e_3},\\ \frac{d\mathbf{e_3}}{ds}&=-\kappa_n\mathbf{e_1}&-\tau_g\mathbf{e_2}, \end{align*}$$

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其中恰好是曲面上曲线的法曲率.

不难得出

$$\frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}=\kappa_g\mathbf{e_2}+\kappa_n\mathbf{e_3}$$

直观上看，曲面上曲线的测地曲率向量是曲线曲率向量在切平面上的投影

$$\kappa_g = \frac{d^2\mathbf{r}}{ds^2}\cdot\mathbf{e_2}=<\mathbf{r''(s)},\mathbf{n}\times\frac{d\mathbf{r}}{ds}>$$

曲线的弯曲有两部分，法曲率是由曲面的弯曲产生的，测地曲率是曲线自身在曲面内的弯曲程度，由曲率的定义可以得到

$$\kappa^2=\kappa_g^2+\kappa_n^2$$

我们也可以根据自然标架运动方程得到

$$\kappa_g = <\mathbf{\kappa_g},\mathbf{e_2}>=<\mathbf{\kappa_g},\mathbf{n}\times\frac{d\mathbf{r}}{ds}>$$

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Liouville公式

设是曲面的正交参数，是曲面上一条弧长参数曲线.设与线的夹角为,则的测地曲率为

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$$\begin{aligned} k_g&=\frac{d\theta}{ds}-\frac{1}{2\sqrt{G}}\frac{\partial\ln E}{\partial v}\cos\theta+\frac{1}{2\sqrt{E}}\frac{\partial\ln G}{\partial u}\sin\theta\\ &=\frac{d\theta}{ds}-\frac{E_v}{2\sqrt{G}E}\cos\theta+\frac{G_u}{2\sqrt{E}G}\sin\theta \end{aligned}$$

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且满足

$$\frac{du}{ds}=\frac{\cos\theta}{\sqrt{E}},\quad\quad\frac{dv}{ds}=\frac{\sin\theta}{\sqrt{G}}$$

注：(1) u-线是取定参数v的线，v-线是取定参数u的线（在球面上为纬线）。(2) 测地曲率由曲面第一基本形式决定，则测地线也如此，所以在等距变换下不变。

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在曲面上测地曲率恒等于0的线称为上的测地线

例题

1. 求旋转曲面上纬线的测地曲率.

旋转曲面可以设为

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其第一基本形式为

$$\mathbf{I}=[f'^2(u)+g'^2(u)]dudu+f^2(u)dvdv$$

纬线即v-线记作

$$k_g(C_u)=\frac{f'(u)}{f(u)\sqrt{f'^2+g'^2}} \tag{1}$$

1. 求在半径为的球面上半径为的圆周的测地曲率.

球面可以设为

.

其第一基本形式为

$$\mathbf{I}=R^2dudu+R^2\cos ^2u dvdv$$

半径为的圆周看作取定后的线，它与线的夹角为,且.

$$\begin{align*} k_g &= \frac{G_u}{2\sqrt EG}\bigg|_{u=u_0}\\ &=(\pm)\frac{\tan u_0}{R}\\ & = (\pm)\frac{\sqrt{R^2-a^2}}{aR} \end{align*}$$

也可以用(1),带入球面参数方程即可。

1. 求锥面上的测地线.

锥面的参数方程可以写作

其第一基本形式为

$$\mathbf{I}=2dudu+u^2dvdv=d\rho d\rho+\rho^2d\varphi d\varphi,\quad(\rho=\sqrt{2}u,\sqrt{2}\varphi =v)$$

后面的式子是平面在极坐标系下的第一基本形式，而在极坐标系下直线的方程

$$\rho\cos(\varphi-\varphi_0)=c$$

所以该锥面测地线方程是

$$\sqrt2u\cos (\frac{v-v_0}{\sqrt2})=c$$

进行代换

我能变色吗？ 现在呢？ 能变几行呢？？

另：现在第一基本形式表明参数正交，.若用表示测地线与线的夹角，则测地线满足的的微分方程为

$$\sqrt2\frac{du}{ds}=\cos \varphi,\quad u\frac{dv}{ds}=\sin \varphi\\ \frac{d \varphi}{ds}=-\frac{1}{\sqrt2}\frac{\partial \ln u}{\partial u}\sin \varphi=-\frac{1}{\sqrt2u}\sin \varphi$$

其中是测地线的弧长参数。将第二个方程与第三个方程相除得到

$$\frac{dv}{d\varphi}=-\sqrt2,\quad v=-\sqrt2\varphi+v_0,\quad \varphi = -\frac{v-v_0}{\sqrt2}$$

再将第一个方程与第二个方程相除可以得到

$$\frac{\sqrt2}{u}\frac{d u}{dv}=\cot \varphi$$

将以上两个式子联立再选择适当的常数可以得到前面解出的测地线方程。