通过一个不常见的置信区间探讨伽马分布指数分布卡方分布的关系

一 非正态总体参数的置信区间

指数分布参数的置信区间

设为从指数分布中抽取的简单随机样本，其密度函数为要求的置信系数为的置信区间。

因为是的一个一致最小方差无偏估计(UMVUE)，设想的置信区间可用表示。枢轴变量可取,可知

$$2\lambda n\overline{X}=2\lambda \sum_{i=1}^n X_i \sim \chi^2(2n).\tag{1} \label{a}$$

确定使得

$$P(a\leq 2\lambda n\overline{X} \leq b)=1-\alpha.$$

令$P(2\lambda n\overline{X}b)=\alpha/2$

可以得出.

因此有

利用不等式变形可得的置信系数为的置信区间为

$$[\chi_{1-\alpha/2}^2(2n)/2n\overline{X},\chi_{\alpha/2}^2(2n)/2n\overline{X}]$$

均匀分布参数的置信区间

设为从均匀分布总体中抽取的简单随机样本，求的置信系数为的置信区间.

设,且其为充分统计量。是的一致最小方差无偏估计。设想枢轴变量一定与有关。由于,取为枢轴变量，其表达式与有关，但其分布与无关，其密度函数为

$$T/\theta \sim f(t) = nt^{n-1}I_{[0<t<1]}.$$

确定$c_1,c_2,0<c_1<c_2\leq 1$使得

$$\begin{align} P_{\theta}(c_1<T/\theta<c_2) & =P(T/c_1<\theta<T/c_2)\\ &=\int_{c_{1}}^{c_2}nt^{n-1}dt = c_{2}^{n}-c_{1}^{n}=1-\alpha \end{align}$$

于是为的置信系数为的置信区间。为取得合适的且尽量使置信区间最短，不难证明这要求.

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二 探讨分布、指数分布与分布之间的关系

如果我们不加以说明，的得出是容易令人困惑的，借此机会我们探讨一下分布、指数分布与分布之间的关系。

注：时，上述三分布的密度函数均为0，所以本文均默认.

分布的密度函数为

$$f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}.$$

指数分布的密度函数为

$$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}.$$

分布 的密度函数为

$$f(x;n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}.$$

经过对比可以看出，

$$EXP(\lambda)=\Gamma(1,\lambda)$$ $$\Rightarrow \frac{2}{\theta}EXP(\frac{1}{\theta})\sim\Gamma(1,\frac{1}{2})$$ $$EXP(1/2)=\Gamma(1,1/2)=\chi^2(2)\\ \chi^2(n) = \Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$$ $$\Rightarrow \chi^2(2n)\sim\Gamma(n,\frac{1}{2})$$

个服从指数分布的随机变量之和服从 (可由特征函数知识证得,依据卡方分布的可加性、指数分布的线性变换性质.)

$$\Rightarrow \frac{2}{\theta}\sum_{i=1}^nEXP(\frac{1}{\theta})\sim \Gamma(n,\frac{1}{2})\sim \chi^2(2n)$$ $$\Rightarrow \frac{2}{\theta}\sum_{i=1}^nX_i=\frac{2n\overline{X}}{\theta}\sim \chi^2(2n)$$

最后再令即可得到所需结论。至此我们已经初步弄清楚上述三个分布在表达式方面的区别与联系。