随机过程复习

第一章 初等概率论

一、概率空间

概率空间

概率运算性质

(1) 对任意,

(2) 如果那么

(3) 多退少补：对任意

$$P(\bigcup_{i=1}^{m}A_i)=\sum_{i=1}^m P(A_i)-\sum_{1\leq i < j\leq m}P(A_iA_j)+...+(-1)^{m-1}P(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_m);$$

(4) 次可加性: 对任意一列事件

$$P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)\leq \sum_{i=1}^{\infty}P(A_n)$$

(5)连续性: 假设是一列单调递增或递减的事件，则

$$P(\lim_{n\to \infty}A_n)=\lim_{n\to \infty}P(A_n)$$

条件概率

假设时间定义

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)},A\in \mathcal{A},$$

成为给定发生条件下，发生的条件概率。

定理 1 假设是一列互不相容的事件，并且那么对于任意事件,

$$P(A)=\sum_{i=1}^NP(A|B_n)P(B_n)$$

该式可以推广到多个事件，得到下列链式法则：

$$P(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_m)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)\cdot\cdot\cdot P(A_m|A_{m-1}\cdot\cdot\cdot A_1).$$

先写到这里吧，这种类型的文章写下去太累了……

Poisson过程

一、Poisson过程

定义 1 假设对满足下列条件

(1) 初始条件: ;

(2) 独立增量: 假如,那么相互独立；

(3) 平稳增量: 假如, 那么与具有相同的分布（但意义并不相同）；

(4) 稀有性: 存在一个正常数,使得对任何有

$$P(N(t,t+\Delta (t)=1)=\lambda \Delta (t)+o(\Delta(t)), \\ P(N(t,t+\Delta(t))\geq2)=o(\Delta(t))$$

​ 是相对小的时间增量。

则有

(4’) Poisson分布: 对任何,

$$P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},\,k=0,1,2...$$

基本性质

$$\begin{align*} EN(t)=\lambda t,&\,\,\, Var(N(t))=\lambda t,\\ \\ E[N(t)(N(t)-1)&\cdot\cdot\cdot(N(t)-k+1)]=(\lambda t)^k\\ \\ \lambda = EN(1)&=\frac{EN(t)}{t}\\ \\ E(N(s)N(t)) &= E[N(s)(N(s)+N(t)-N(s))]\\ &=...\\ &=\lambda^2st+\lambda s\\ \\ Cov(N(s),N(t))&=E(N(s)N(t))-EN(s)EN(t)\\ &=\lambda s \end{align*}$$